감동 17편 : 함 수 함수 원리개념설명 제6강

태그 : 역함수,정의,성질,그래프,구하기

출처 : 양용식감동수학

감동 17편 함수 원리개념설명 제6강 자세히 살펴보기

감동 17편 - 제1단계 : 원리개념설명 교재쪽수 문항수 강의 시간 제6강 §3.역함수    1.역함수의 정의    2.역함수 구하기    3.역함수의 그래프    4.역함수의 성질 24~34쪽 53분

강의구성

진행시각 교재쪽 제목 설명 22초 24쪽 역함수의 정의 f:X→Y, y=f(x)가 일대일 대응이면 X의 각 원소 x에 대하여 x→y인 Y의 원소 y는 오직 하나이고 반드시 존재한다. 그리고 Y의 각 원소 y가 y→x에 대응 시킬 때, Y를 정의역, X를 공역으로 하는 새로운 함수가 만들어진다. 이때, 이 새로운 함수를 f의 역함수라 하고 기호를 f-1로 나타낸다. 즉, f-1:X→Y, x=f-1(y)( ⇐ 정의역 Y, 공역 X) 따라서 역함수의 정의로 부터 다음이 성립한다. y=f(x) ⇔ x=f-1(y) 5분 22초 26쪽 예제) 다음 함수 중 역함수가 존재하는 것을 고르고, 그 역함수의 그래프를 구하여라. 8분 53초 26쪽 역함수 구하기 역함수 구하는 방법은 다음과 같다. 첫째 : 주어진 함수 y=f(x)가 일대일 대응인지 확인한다. 둘째 : y=f(x)를 x에 대하여 풀어서 x=g(y)의 꼴로 나타낸다. x=g(y)에서 x와 y를 서로 바꾸어서 y=g(x)의 꼴로 고쳐서, y-1=g(x)로 표시한다. 셋째 : y=f-1(x)를 쓸 때, y=f(x)의 치역이 역함수의 정의역이므로 꼭 써야할 때 써 주어야 한다. 즉, 무리함수의 역함수에서는 그 역함수를 쓸 때, 무리함수의 치역을 그 역함수의 정의역으로 꼭 써 주어야 한다. 9분 52초 27쪽 예제1), 예제2) 함수 y=2x+1의 역함수를 구하여라. 다음 역함수를 구하여라 (1) y=x2-1(x≥0)  (2) [y= √(x-1)+2] 23분 48초 30쪽 역함수의 그래프 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프 사이의 관계를 알아보면 y=f(x)의 역함수를 구할 때, x대신 y, y대신 x를 대입해서 정리하면 역함수가 된다. 앞서 배운 내용을 보면 x대신 y, y대신 x를 대입하면 y=x 대칭이다. 34분 23초 31쪽 예제1) 함수 [f(x)={ax+b}/{x+c}]의 역함수가 [f-1(x)={4x-3}/{-x+2}]일 때, 상수 a, b, c의 값을 구하여라. 38분 12초 32쪽 예제2) 함수 [f(x)={3}/{2x-4}+1]의 역함수를 구하여라. 40분 26초 32쪽 역함수의 성질 (1) 함수 f : X→Y가 일대일 대응일 때, f-1 : Y→X에 대하여   ① (f-1)-1=f   ②  f-1(f(x))=f(f-1(x))=x (x∈X)     ∴f-1∘f=f∘f-1=Ix (2) 함수 f : X→Y, 함수 g : Y→X에서 g∘f=Ix, f∘g=Ix g∘f=x(항등함수)이면 g=f-1또는 g=g-1이다. (3) 함수 f : X→Y 함수 g : Y→Z가 일대일 대응일 때, (g∘f)-1=f-1∘g-1 (4) y=f(x) ↔ x=f-1(y) 곧 f(a)=b ↔ f-1(b)=a 즉 f(1)=2 ↔ f-1(2)=1이다. 46분 24초 33쪽 예제1) 다음 물음에 답하여라. (1) 함수 f(x)=2x2+1(x≥0)에 대하여 (f-1)-1(1)+(f-1∘f)(2)의 값을 구하여라. (2) 실수 전체의 집합 R에서 R로의 함수 f,g에 대하여 (f∘g)-1(x)=2x+5일 때, (g-1∘f-1)(1)의 값을 구하여라. 50분 20초 34쪽 예제2) f(x)=ax+b에 대하여 f-1(1)=0, f∘f(0)=3일 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.

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